지수함수통의 재해석
#1. 위 그림은 통 안에 들어갔다가 나오면 토끼가 지수적으로 증가하는 신기한 통입니다. 이런 신기한 통이 실제로 존재한다면 토끼의 개체수가 증가하여 지구를 토끼가 정복할 수도 있다는 상상을 해 봅니다. 그리고 신기한 통에 넣었다 나오면 줄어들기도 한다고 합니다. 이런 신기한 통을 그냥 통통통이라 부르면 정체성이 없게 느껴지니 근사한 이름을 붙여준다면 지수적으로 증가하거나 감소하는 통의 이름은 "지수함수통"라 불러줍시다. 라고 명명하면 그렇게 부르고 인지하게 됩니다.
상상만 해도 흥미롭다고 생각되지 않나요? 상상은 현실원칙을 따라 살아가는데 어려움을 극복하는데 도움이 되기도 합니다. 횡설수설했답니다.
#2. 현상을 관찰하고 변화를 수학적 모델링하여 여러 분야에서 학술적인 연구 결과를 만들어 냅니다. 수학은 모든 학문의 기본입니다. 이는 수학의 유효성 중 하나입니다. 새로운 "수" 거듭제곱근, 지수, 로그, 호도법 등은 실수 중에 특별한 형태 로 이름을 붙여주었다는 것을 알고 있습니다.
#3. 지수적으로 증가한다는 것을 수학적으로 표현하면
거듭제곱에서 밑은 1이 아닌 양수에 지수는 실수일 때 양수의 변화를 관찰하면 됩니다. 여기서 잠깐 상상해 봅시다.
밑(양수)고정시키고 지수가 음수로 점점 작아지면이면 양숫값은 점점 0에 가까워진다는 상상을 할 수 있습니다.
밑(양수)고정시키고 지수가 양수로 점점 커져간다면 양숫값은 기하급수적으로 커져간다는 상상을 할 수 있습니다.
밑을 2로 고정시키고 지수가 -1, -2, -3, ... , -100, ... 이면 양숫값은 한없이 0에 가까워진다는 것을 확인할 수 있습니다.
밑을 2로 고정시키고 지수가 1, 2, 3, ... , 100, ... 이면 양숫값은 한없이 커진다는 것을 확인할 수 있습니다.
즉, 전문용어를 사용하면서 다시 표현해보면 변하는 수인 변수는 지수에 있는 실수가 정의역이 됩니다. 변수에 따라 밑은 2로 고정시키고 정의역의 실수를 대응시키면 양숫값인 함숫값은 점점 커지는 증가하는 그래프를 상상할 수 있습니다. "지수함수통"이라고 말할 수 있습니다. 마찬가지 방법으로
지수적으로 감소한다는 것을 수학적으로 표현하면 밑은 0과 1사이에 있는 양수에 지수는 실수일 때 양수의 변화를 관찰하면 됩니다. 여기서 잠깐 상상해 봅시다.
밑(양수)고정시키고 지수가 음수로 점점 작아지면이면 양숫값은 기하급수적으로 커진다는 상상을 할 수 있습니다.
밑(양수)고정시키고 지수가 양수로 점점 커져간다면 양숫값은 점점 0에 가까워진다는 상상을 할 수 있습니다.
밑을 1/2로 고정시키고 지수가 -1, -2, -3, ... , -100, ... 이면 양숫값은 한없이 커진다는 것을 확인할 수 있습니다.
밑을 1/2로 고정시키고 지수가 1, 2, 3, ... , 100, ... 이면 양숫값은 한없이 작아진다는 것을 확인할 수 있습니다.
즉, 전문용어를 사용하면서 다시 표현해보면 변하는 수인 변수는 지수에 있는 실수가 정의역이 됩니다. 변수에 따라 밑은 1/2로 고정시키고 정의역의 모든 실수를 대응시키면 양숫값인 함숫값은 점점 작아지는 감소하는 그래프를 상상할 수 있습니다. "지수함수통"이라고 말할 수 있습니다. 다음 그래프를 감상 해 봅니다. 점과 점사이에 무수히 많은 실수가 존재합니다. 빨강점들은 이차함수 기본형임을 알 수 있을 겁니다. 엑스가 1일 때 와이 값 즉 함숫값을 비교하면서 해석을 합니다.
노랑색 톤과 파랑색 톤의 점을 감상합니다.
#4.거듭제곱에서 밑이 1보다 큰 양수 중에서 밑을 고정 시켜야 합니다. 고정 방법은 2가지 0과 1사이인 경우와 1보다 큰 경우로 고정합니다. 다음 그림을 참고합니다.
#5. 지수함수의 그래프 모양을 익입니다. 이차함수는 포물선 꼭짓점이 있고 축에 대해 대칭성을 기억하듯이 지수함수는 밑이 1보다 클 경우 엑스값이 증가하면 함숫값이 기하급수적으로 증가하는 그래프가 되며 엑스값이 작아지면 작아질수록 0에 가까워지는 그래프가 되어 엑스축 즉 y=0을 점근선이 생깁니다.
#6. 지수함수는 밑이 0보다 크고 1보다 작을 경우 엑스값이 증가하면 함숫값이 급속도로 감소하는 그래프가 되며 엑스값이 작아지면 작아질수록 0에 가까워지는 그래프가 되어 엑스축 즉 y=0을 점근선이 생깁니다.
#7. 지수함수는 밑이 1이 아닌 양수, 정의역 모든 실수, 함숫값은 양수, 점근선이 생긴다는 것이 특징입니다.
#8. 도형의 이동에는 평행이동과 대칭이동을 이미 공부했습니다. 다시 한번 떠 올려 보면 좋겠습니다.
#9. 지수함수의 식을 보면 그래프 개형을 추측할 수 있어야 합니다.
(1) 지수함수를 보면 먼저 밑을 고정해야합니다.
밑이 0과 1사이의 수인지 1보다 큰 수인지를 결정합니다. 밑 3으로 고정하면 기하급수적으로 증가하는 그래프가 됩니다.
(2) y의 부호가 바뀐 것은 지수함수를 x축 대칭이동을 했다는 정보입니다.
(3) 상수항은 y자리에 y-1이 상수항 이항되어 우변 1은 바로 y축 방향으로 1만큼 평행이동했다는 뜻입니다.
즉, 상수항 정보는 점근선을 찾게 합니다. y=1은 점근선의 방정식입니다.
#10. 지수함수의 식을 보면 그래프 개형을 추측할 수 있어야 합니다.
(1) 지수함수를 보면 먼저 밑을 고정해야합니다.
밑이 0과 1사이의 수인지 1보다 큰 수인지를 결정합니다. 밑 1/2으로 고정하면 기하급수적으로 감소하는 그래프가 됩니다.
(2) x의 부호가 바뀐 것은 지수함수를 y축 대칭이동을 했다는 정보입니다.
(3) 상수항은 y자리에 y-2이 상수항 이항되어 우변 2은 바로 y축 방향으로 2만큼 평행이동했다는 뜻입니다.
즉, 상수항 정보는 점근선을 찾게 합니다. y=2은 점근선의 방정식입니다. x자리에 x-1는 x축으로 1만큼 평행이동했다는 뜻입니다.
#11. 어떤 지수함수의 식을 보더라도 그래프 개형을 추측할 수 있어야 합니다.
(1) 지수함수를 보면 먼저 밑을 고정해야합니다.
밑이 0과 1사이의 수인지 1보다 큰 수인지를 결정합니다. 고정 후 기하급수적으로 감소하는 그래프인지 증가하는 그래프인지 판단합니다.
(2) x, y의 부호가 바뀐 것은 지수함수를 대칭이동을 했다는 정보입니다.
(3) 상수항은 y자리에 y-q이 상수항 이항되어 우변 q은 바로 y축 방향으로 q만큼 평행이동했다는 뜻입니다.
즉, 상수항 정보는 점근선을 찾게 합니다. y=q은 점근선의 방정식입니다. x자리에 x-p는 x축으로 p만큼 평행이동했다는 뜻입니다.
#12. 지수함수는 정의역의 모든 실수가 공역에 하나씩 같은 값이 아닌 서로 다른 함숫값에 대응되며 공역과 치역이 같으니 일대일대응이 됩니다. 즉 역함수가 존재한다는 의미입니다. "역함수" 하면 , x와 y 자리 바꿔!!! y에관하여 정리해!!! 역함수를 구할 수 있답니다. 다음 내용을 살표봅니다.
#13. 역함수는 직선y=x에 대하여 대칭인 그래프가 됩니다. 다음 그림을 살표봅니다. 그리고 지수함수의 역함수는 로그함수가 된다는 것을 기억합니다.
#14. 지수함수로 우리는 복잡한 지수인 거듭제곱의 크기를 비교할 수 있습니다.
근호는 지수로 나타낼 수 있고 밑을 고정하여 표현하여 지수함수를 만들어 봅시다.
#15. 지수함수의 성질 즉 밑이 0과 1사이의 수이면 감소하는 그래프, 밑이 1보다 크면 증가하는 그래프를 해석하여 최댓값과 최솟값을 찾을 수 있습니다.
