상용로그 재해석
#1. 수학이 어렵고 잼없는 이유는 다양한 "수"를 읽는 것을 못하기 때문입니다. 다양한 "수"를 읽고 표현하는 것을 받아드린다면 좀 나아질 겁니다.
#2. 거듭제곱에서 "지수"를 뜻하는 "로그"라고 표현하고 "로그"라는 "수"를 알게 되었습니다. 거듭제곱 수 중에 가장 보편성을 지닌 수는 바로 밑이 10인 거듭제곱 수랍니다. 다음 처럼 "수"를 읽어봅니다.
(3번 소리내서 ㅎㅎㅎ)
#3. 수학자 네이피어가 "로그"를 발명하여 천문학, 항해술, 물리학 등 과학의 발전에 기여하게 되었답니다. " 로그의 탄생"으로 매우 큰 수거나 매우 작은 수를 곱하거나 나눌 때 "로그" 수로 변환하여 더하기와 빼기 계산을 찾아냈답니다. 네이피어의 영향으로 영국 수학자 브리그스는 밑을 10으로 하는 로그를 상용로그를 만들고 상용로그 표를 통해 복잡한 수의 계산을 쉽게 해결할 수 있게 되었답니다.
#4. 로그는 거듭제곱에서 지수를 뜻하며 밑은 1이 아닌 양수이어야 하며 진수는 당연히 양수임을 알 수 있습니다. "로그"는 실수입니다. 즉 "로그"기호가 사라지면 유리수, "로그"기호가 사라지지 않으면 무리수가 됩니다. 다음 내용을 보고 "수"읽기를 연습합니다.(3번 ㅎㅎㅎ)
#5. 밑이 10인 로그를 상용로그라 부르고 밑은 생략하여 표기합니다. 로그의 밑이 생략된 경우는 아! 밑이 10인 상용로그지라고 해석하면 됩니다.
#6. 상용로그로 보고 진수가 10의 거듭제곱이면 유리수이고 라 부르고 밑은 생략하여 표기합니다. 로그의 밑이 생략된 경우는 아! "밑이 10인 상용로그야"라고 해석하면 됩니다. 그리고 중요한 내용은 상용로그를 보면 "어디 어디 사이에 있는 무리수야"라고 짐작할 수 있으면 상용로그관련한 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. 다음 내용을 보면서 이해하는 시간이 되길 바랍니다. 로그2는 0과 1사이에 있수 무리수인데 부리그스가 소수넷째자리까지 구해 놓았으니 상용로그표를 보고 읽으면 됩니다. 상용로그표에서 읽을 수 있는 상용로그는 1.00부터 9.99까지입니다. 상용로그표을 보는 방법은 세로에서 소수첫째까지 찾아간 후 가로로 둘째자리 수에 해당하는 값을 읽어주면 됩니다.
#7. 상용로그표에 나오지 않는 상용로그의 값은 어떻게 하면 좋을까요? 진수를 분해합니다. 상용로그표에 나오는 수로 분해합니다. 진수50은 상용로그표에 나오지 않습니다. 즉 상용로그표에 나오는 수 5와 10으로 분해합니다.
#8. 진수를 분해하여 두 수의 곱으로 바꾼 후 로그의 합으로 정리하고 척척 계산하면 됩니다.
밑10을 1.6990번 곱하면 50이 된다는 뜻입니다.
#9. 진수에 근호가 있는 경우는 근호를 지수로 표현하고 진수의 지수는 로그앞에 써 줍니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
다음은 밑10을 1/2번 곱하면 제곱근10이 된다는 뜻입니다.
#10. 진수에 세제곱근근호가 있는 경우도 마찬가지로 근호를 지수로 표현하고 진수의 지수는 로그앞에 써 줍니다.
진수의 10의 거듭제곱은 유리수로 쉽게 계산을 합니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
다음은 밑10을 2/3번 곱하면 세제곱근100이 된다는 뜻입니다.
#11. 진수에 분수 즉 분모가 10의 거듭제곱이고 분자 1이면 "분의 1"을 "-1" 지수로 표현하고 마찬가지로 진수의 지수는 로그앞에 써 줍니다.
진수의 10의 거듭제곱은 유리수로 쉽게 계산을 합니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
다음은 밑10을 -2 곱하면 1/100이 된다는 뜻입니다.
로그의 값이 음수가 나왔다는 것은 "진수가 0<진수<1에 있는 유리수구나"라고 해석하면 됩니다.
#12. 진수에 분수 즉 분모8이고 분자3인 경우 로그의 값을 구하기 위해 먼저 진수가 분수이면 로그의 뺄셈으로 표현합니다. 그리고 진수가 지수꼴로 변경한 후 지수는 로그 앞에 써 줍니다. 결국 진수는 상용로그표에 나와 있는 수이므로 척척 계산을 합니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
다음은 밑10을 -0.4259번 곱하면 3/8이 된다는 뜻입니다.
로그의 값이 음수가 나왔다는 것은 "진수가 0<진수<1에 있는 유리수구나"라고 해석하면 됩니다.
#13. 로그의 값이 음수가 나오면 당황하는 사람들이 많습니다. 당황하지 마시라고 한 번 더 강조하고 싶어서 그림자료 하나 더 만들었습니다. 항상 로그를 보면 거듭제곱에서 "지수를 표현하는 실수구나"라고 반복하여 말해보고 기억합시다.
#14. 진수에 50이 있는 로그의 값은 다음과 같습니다.
#14. 밑이 2이고 진수3인 로그의 또다른 표현은? 수학은 표현의 다양성을 지닌 것이 특징입니다. 다음 내용을 읽으면서 이해가 되길 바랍니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
그래서 (1) 구하고자 하는 값을 미지수로 놓는다. (2)로그를 지수로 표현한다 (3)양변 상용로그를 취한다(4)진수의 지수는 로그앞에 써 준다(5)마무리한다
로그의 다양한 표현 중 하나입니다. "로그에게 키높이 신발을 신겨요! 키높이 신발을 벗겨요!" 어떻게 밑과 진수를 가지고 분모에 새로운 밑으로하는 2인 로그 분모에 새로운 밑으로하는 3인 로그로 ~ 기억하세요!!!
#15. 밑이 2이고 진수3인 로그의 또다른 표현은? 수학은 표현의 다양성을 지닌 것이 특징입니다. 다음 내용을 읽으면서 이해가 되길 바랍니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
그래서 (1) 구하고자 하는 값을 미지수로 놓는다. (2)로그를 지수로 표현한다 (3)양변 밑이 3인로그를 취한다 (4)진수의 지수는 로그앞에 써 준다(5)마무리한다
" 로그에게 키높이 신발을 신겨요! 어떻게 새로운 밑을 진수3으로 취한 로그로 하면 역수 형태가 되네요"
#16. 밑이 2의 네제곱이고 진수가 3의 제곱인 로그의 또다른 표현은? 수학은 표현의 다양성을 지닌 것이 특징입니다. 다음 내용을 읽으면서 이해가 되길 바랍니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
그래서 (1) 로그의 다양한 표현 중 "로그에 키높이 신발을 신겨요!" 즉 전문용어로 밑변환공식이라 부릅니다. (2) 로그를 지수로 표현한다 (3) "로그에 키높이 신발을 벗겨요!"로 마무리합니다.
#17. 밑이 a(1이 아닌 양수), 진수가 1인 로그의 값이 0이다. 라는 의미는 밑 a를 0번 곱하면 1이 된다는 것을 말합니다.
즉, 모든 수의 0번곱은 "1"이죠!!!
밑이 a(1이 아닌 양수), 진수가 a인 로그의 값이 1이다. 라는 의미는 밑 a를 1번 곱하면 a가 된다는 것을 말합니다.
즉, a의 1번곱은 "a"이죠!!! 로그만이 가지고 있는 성질입니다. 지금까지 예를 들어 로그를 계산한 것을 일반적인 표현으로 로그의 성질이라고 부릅니다. 그래서 다음과 같이 로그의 성질을 정리합니다.
#18. 로그의 성질 진수의 곱은 로그의 합으로 표현합니다.
#19. 로그의 성질 진수의 분수(나누기)는 로그의 빼기(차)로 표현합니다.
#20. 밑이 a이고 진수b인 로그의 또다른 표현은? 수학은 표현의 다양성을 지닌 것이 특징입니다. 다음 내용을 읽으면서 이해가 되길 바랍니다.
"빨강색 신호등을 보면 멈춤, 녹색 신호등을 보면 출발" ㅎ~ 우리는 약속을 기억하고 지키면 됩니다.
그래서 (1) 구하고자 하는 값을 미지수로 놓는다. (2)로그를 지수로 표현한다 (3)양변 밑c인 로그를 취한다 (4)진수의 지수는 로그앞에 써 준다 (5)마무리한다
로그의 다양한 표현 중 하나입니다.
"로그에게 키높이 신발을 신겨요! 키높이 신발을 벗겨요!" 어떻게 밑과 진수를 가지고 분모에 새로운 밑으로하는 c인 로그, 분모에 새로운 밑으로하는 c인 로그로 ~ 기억하세요!!!
#21. "로그에게 키높이 신발을 신겨요! 키높이 신발을 벗겨요!"
#21. "로그에게 키높이 신발을 신겨요! 키높이 신발을 벗겨요!" ㅎ~ 키높이의 굽이 진수를 밑으로 하는 로그를 만들어요!!!
#22. "로그에게 키높이 신발을 신겨요! 키높이 신발을 벗겨요!" ㅎ~ 키높이의 굽이 진수를 밑으로 하는 로그를 만들어요!!!
#23. "로그에게 키높이 신발을 신겨요! 진수의 지수는 로그 앞에 써 줘요! 키높이 신발을 벗겨요!
#24. 지금까지 새로운 "수"를 확장되어가는 경험을 한 겁니다. 즉 거듭제곱에서 지수가 자연수에서 정수일 때 밑은 음수거나 양수였고 지수가 유리수, 무리수 다시말해 실수일 때 밑은 양수 특히 밑이 "1"이면 의미가 없으니 제외해야한 다는 것을 다시 한번 첵크합니다. 당연히 계산 결과는 양수가 되며 이 양수는 지수를 로그로 표현할 때 진수라고 부릅니다.
#25. "거듭제곱"에서 지수(몇번곱)을 로그(몇번곱)로 로그(몇번곱)를 지수(몇번곱)로 표현방법을 한 번 더 구조화했답니다.
#26. "거듭제곱"에서 지수가 로그가 있는 경우 거듭제곱의 밑과 지수에 로그 밑이 같으면 결국 지수에 로그의 진수가 됩니다.
#27. "거듭제곱"에서 지수가 로그가 있는 경우 거듭제곱의 밑과 지수에 로그 진수와 자리를 바꿔도 같은 실수가 됩니다.
아휴~
로그를 "수"라는 인식을 높이기 위해 노력했습니다. 수학에서는 "수"자체의 다양성 뿐 만 아니라, 표현의 다양성을 익힌 다면 수학의 기초가 탄탄해집니다. 수학이 어렵게 느끼고 잼없는 것은 "수" 확장성의 아름답고 놀랍다는 것을 느낀다면 흥미롭게 수학관련 책이 읽힐겁니다. 많은 공부를 하고도 수학관련 책이 손에 가지않는 이유입니다. 세상은 변합니다. 세상이 변하는 만큼 "수"도 확장합니다. 어디까지 무한대까지 우리가 알 수 없는 보이지 않는 세계를 "수학"으로 접근해 보시기 바랍니다.
"거듭제곱근", "로그"는 실수입니다.
이젠, 지수함수, 로그함수, 지수방정식, 로그방정식 내용이 어렵지 않을 것으로 기대합니다.
여기까지 읽어주신 분들께 감사드립니다.