거듭제곱
#1. "수" 하면 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 허수, 복소수가 생각이 날 겁니다. 자연수는 짝수와 홀수로 구분할 수 있고 즉, N의 배수로 구분 할 수 있답니다. 유리수는 모양에 따라 분수(분모가 0이 안닌 정수) 또는 소수가 있습니다. 소수에는 유한 소수와 무한 소수로 구분하구요. 유한소수는 분수로 표현할 수 있으니 유리수가 되고 무한 소수는 순환하는 무한 소수와 순환하지 않는 무한 소수로 구분하면서 순환하는 무한 소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수가 됩니다. 즉 순환하지 않는 무한 소수를 무리수라 부릅니다. 무리수는 2가지 모양을 합니다. 순환하지 않는 무한 소수 거나 근호(루트 )로 표현되는 수를 무리수라 부릅니다. 수학은 이름을 불러주는 것에서 부터 시작합니다.
#2. 10을 2번 곱하면 100이고 10의 제곱이라고 표현합니다. 10을 3번 곱하면 1000이고 10의 세제곱이라고 표협합니다. 10을 4번 곱하면 10000이고 10의 네제곱이라고 표현합니다. 그럼 10이 아닌 다른 어떤 수도 마찬가지로 표현할 수 있다는 생각을 하게 됩니다. 즉, 수학에서는 일관되게 적용되는 규칙을 식으로 표현하는 것을 즐겨합니다. 이를 수학의 일반성이라고 부릅니다.
#3. 수 10이 아닌 모든 수를 문자로 a, 몇번 곱을 n으로 나타냅니다.
#4. 어떤 수가 다 적용하는 것이 아님을 알 수 있습니다. 0과 1은 몇 번의 곱의 영향을 미치지 않고 자기 자신이 됨을 알 수 있습니다.
#5. 어떤 수를 몇 번 곱했나?를 거듭제곱이라고 부르기로 했고 의미가 없는 것은 빼 버립니다. 즉 거듭제곱은 어떤 수에 해당하는 "밑"과 "몇 번 곱"에 해당하는 지수라는 2개의 용어가 나옵니다.
#6. 이젠 거듭제곱은 밑과 지수로 이루어진 수의 표현이구나 라고 받아드리면 됩니다. 여기에 밑은 0과 1사이에 있는 모든 실수 거나 1보다 큰 모든 실수만 가능하구나 라고 받아드리면 됩니다. 즉 밑이 음수라면? 이란 생각을 할 수 있고 밑이 음수이면 거듭제곱의 수로 의미가 없다는 것을 이해해야 합니다. -2를 자연수곱을 하면 지수가 짝수이면 양수, 홀수이면 음수인 수가 됩니다. 수의 변화가 양수였다가 음수였다가 일관성이 없습니다. 수학은 일관성있는 변화를 중요하게 여깁니다. 결국 거듭제곱에서 밑은 음수는 생각하지 않는다.라고 기억하길 바랍니다.
#7. 거듭 제곱에서 밑 조건을 살펴보았습니다. 밑은 0과 1사이에 있는 모든 실수 거나 1보다 큰 모든 실수 만 밑이 될 수 있다는 겁니다. 그럼, 지수는 "몇 번 곱"의 의미인데 자연수 번 곱했다. 음수 번 곱했다. 유리수 번 곱했다. 무리수 번 곱했다. 실수 번 곱했다. 라고 말할 수 있을 까요? 이런 궁금증을 갖고 끝까지 읽어보면 답을 얻을 수 있습니다.
#8. 수학은 정의에서 출발합니다. 정의된 수를 계산방법을 익히고 정의된 수를 가지고 등식을 만들고 방정식을 만들고 근을 구해보고 함수를 만들어보는 일련의 과정입니다.
함수를 만들고 그래프를 그려보고 특징을 찾고 대칭이동해보고 평행이동해보고 두 함수와의 관계를 살펴보는 것 또한 함수 학습시 일련의 과정입니다. 그럼, 거듭 제곱에서 지수가 자연수인 경우는 지수법칙에 따라 계산하는 방법은 다음과 같습니다.
거듭제곱근
#8. 거듭 제곱으로 방정식을 만들어보겠습니다.
무엇을 3번 곱하면 7이 된다. 이를 만족하는 수는 우리가 알고 있는 암산으로 계산할 수 없습니다. 그래서 수를 만들어주었답니다. 무리수인 세제곱근7이 근이라 합니다.
즉, 세제곱근7을 3번 곱하면 7이 된다는 의미입니다. 이를 7의 세제곱근이라 부릅니다.
무엇을 3번 곱하면 -7이 된다. 이를 만족하는 수는 세제곱근-7이 됩니다.
즉, 세제곱근-7을 3번 곱하면 -7이 된다는 의미입니다. 이를 -7의 세제곱근이라 부릅니다.
마찬가지 방법으로 다음을 읽어보면 됩니다.
#9. 거듭 제곱근을 일반적인 표현방법은 다음과 같습니다.
#10. 거듭 제곱근은
무엇을 몇 번 곱(짝수번 곱)해서 양수(a)가 되는냐? 양수의 짝수제곱근으로 플마짝수제곱근a
무엇을 몇 번 곱(홀수번 곱)해서 음수(a)가 되는냐? 음수의 홀수제곱근으로 마이너스홀수제곱근a가 됩니다.
거듭제곱근은 근호가 사라지면 유리수 근호가 사라지지 않으면 무리수가 됩니다. 거듭제곱근은 "수"랍니다.
#11. "거듭 제곱"을 정의하고 "거듭제곱의 계산"을 지수법칙으로 계산한다는 것을 알았고"거듭제곱으로 방정식"을 만들고 근을
구하면서 거듭제곱근이 "수" 즉 무리수거나 유리수 결국 실근의 개수를 구할 수 있었습니다. 그럼 일련의 과정으로
마지막 단계인 함수와 방정식과의 관계로 살펴보겠습니다.
#12. "2"의 네제곱근은 위 그래프에서 보듯이 교점의 좌표에서 엑스값이 실수인 실근2개임을 알 수 있습니다.
#13. "2"의 다섯제곱근은 위 그래프에서 보듯이 교점의 좌표인 실수인 실근 1개임을 알 수 있습니다.
"-2"의 다섯제곱근은 위 그래프에서 보듯이 교점의 좌표인 실수인 실근 1개임을 알 수 있습니다.
거듭제곱근의 성질
#14. 거듭제곱근은 실수임을 알 수 있습니다. 거듭제곱근끼리 계산은 어떻게 할까요? 궁금해집니다.
분수계산을 할 때 분모가 같은 분수끼리 더하고 빼서 계산합니다.
이처럼 거듭제곱근을 계산할 때는 제곱근은 제곱근끼리 세제곱근은 세제곱근끼리 네제곱근은 네제곱근끼리....
수학에서 동류항끼리 계산을 한다는 생각은 기본입니다.
#15. 거듭제곱근의 의미에 의해서 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
#16. 거듭제곱근의 의미와 지수법칙을 적용하여 무리수인 거듭제곱근의 성질을 살펴봅시다.
#17. 양수인 무리수로써 거듭제곱근의 성질 첫번째는 다음과 같습니다.
#18. 양수인 무리수로써 거듭제곱근의 성질 두번째를 살펴봅시다.
#19. 다음은 양수인 무리수로써 거듭제곱근의 성질 두번째입니다.
#20. 양수인 무리수로써 거듭제곱근의 성질 세번째을 살펴봅시다.
#21. 다음은 거듭제곱근의 성질 세번째내용입니다.
#22. 거듭제곱근의 성질 네번째내용을 살펴봅시다.
#23. 다음은 거듭제곱근의 성질 네번째내용입니다.
#24. 지금까지 거듭제곱에서 부터 거듭제곱근까지 살펴보았습니다. 루트3, 루트4=2, 루트5, 루트6,... 이런 실수에서 좀 더 확장하여 다양한 무리수가 있다는 것을 알 수 있다는 것입니다.
지수법칙은 거듭제곱 중 밑이 2보다 큰 양수, 지수는 자연수일 때만 성립합니다.
이젠 지수가 정수, 유리수, 실수 즉 무리수일 때도 성립하는지 궁금해집니다.
#25. 지수가 정수일 때 즉, 지수에 영이거나 음수가 있는 경우 다음 내용을 살펴봅니다.
#26. 지수가 유리수일 때 즉, 지수에 양의 유리수가 있는 경우 다음 내용을 살펴봅니다.
#27. 지수법칙이 지수가 정수, 유리수, 실수 일 때도 성립합니다. 이 때, 밑조건이 중요합니다.
지수가 자연수와 정수일 때는 밑은 0이 아닌 모든 실수이다.
지수가 유리수와 실수일 때는 밑은 0보다 큰 양수이다.
#28. 지수법칙을 기본으로 거듭제곱근의 성질을 익히고 계산하는 방법을 익히면 됩니다.